Recta Real Extendida

Sabemos que el conjunto de los números reales son infinitos, sin embargo el $latex +\infty$ y $latex -\infty$ no están dentro de ese conjunto. Para solucionar ese detalle recurrimos a un nuevo conjunto, ese conjunto es el de la recta real extendida


$latex \bar {\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty\}$


Algunos resultados importantes dentro de la recta real extendida:



  • $latex -\infty < x < +\infty \, \, \, \, , \, \, \, \, \forall{x}\in{\mathbb{R}}$

  • $latex -\infty - (+\infty) = -\infty $

  • $latex +\infty + (+\infty) = +\infty $

  • $latex +\infty + x = +\infty \, \, \, \, , \, \, \, \, \forall{x}\in{\mathbb{R}}$

  • $latex -\infty + x = -\infty \, \, \, \, , \, \, \, \, \forall{x}\in{\mathbb{R}}$

  • $latex \frac{x}{\pm \infty} = 0 \, \, \, \, , \, \, \, \, \forall{x}\in{\mathbb{R}}$

  • $latex \lambda(\pm \infty) = \pm \infty\, \, \, \, , \, \, \, \, \forall{\lambda}\in{\mathbb{R}-\left\{{0}\right\}}$, según ley de los signos.


Así también existen algunas operaciones que no están definidas en la recta real extendida:



  • $latex (-\infty)-(+\infty)$

  • $latex (-\infty)-(-\infty)$

  • $latex 0(\pm\infty)$

  • $latex 0^0$

  • $latex 1^{\pm\infty}$

  • $latex (\pm\infty)^0$

  • $latex (\pm\infty)^{\pm\infty}$

  • $latex \frac{0}{0}$

  • $latex \frac{\pm\infty}{\pm\infty}$

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